eja: define matrix basis/space for Cartesian product algebras.

eja: cache one() for Cartesian product algebras.

eja: replace monomial(i) with gens()[i] most places.

The way cartesian products of combinatorial free modules are
constructed, the monomials are identified by pairs of integers rather
than single digits. This means when we're looping through monomial(i)
for i=0,1,...,n in a CartesianProductEJA, that nothing is happening:
monomial(i) is always zero. It wants e.g. monomial((i,j)) instead.
So, switch all of those to gens()[i] which works everywhere.

This fixes rank computations in cartesian product algebras.

Revert "eja: demonstration for https://trac.sagemath.org/ticket/31421."

This reverts commit 526fbae45d9626b4042b1bfed3327a0d4a582b96.

eja: demonstration for https://trac.sagemath.org/ticket/31421.

eja: add another Cartesian product test.

eja: update the TODO again.

eja: update a comment.

Revert "eja: factor out a separate class used by cartesian_product()."

This reverts commit 858aa3653fd2e4ae8573f472cf3f0d698072c185.

eja: update the TODO.

eja: factor out a separate class used by cartesian_product().

eja: add a comment with a new TODO...

eja: more polish for Cartesian product EJAs.

eja: initialize CartesianProductEJA as an EJA.

eja: add "category" argument to FiniteDimensionalEJA.

eja: add cartesian_jordan_product() method to CartesianProductEJA.

eja: add cartesian_inner_product() method for CartesianProductEJA.

eja: add a test for multiple Cartesian product factors.

eja: remove failing debug tests.

eja: begin rework of Cartesian product EJA.

eja: drop a pointless "solve" in the EJA charpoly system.

eja: add trace linearity and charpoly homogeneity tests.

eja: cache inverse() and is_invertible() more intelligently.

eja: unbreak DirectSumEJA, poorly.

eja: change matrix_space() to use parent().

This allows it to work when the "matrix basis" lives in a Cartesian
product space.

eja: start putting back DirectSumEJA....

...and give up because sage is broken on my laptop.

eja: factor out the complex/quaternion extension fields.

eja: simplify two random statements.

eja: construct fewer temporary matrices during EJA construction.

eja: eliminate the special element subalgebra class.

eja: one more charpoly fix.

eja: add a soon-TODO.

eja: fix fast charpoly in one case.

eja: re-tuple the matrix basis after Gram-Schmidt.

eja: default to the identity IP matrix when orthonormalizing.

eja: fix some subalgebra tests with respect to orthonormalization.

eja: fix a baaaaaad typo in the BilinearFormEJA.

eja: more orthonormalization fixes.

eja: fix crashes (but not all failures) in subalgebra tests.

eja: port BilinearFormEJA to matrix-only representation.

eja: add example of Gram-Schmidt with matrices.

eja: comment out DirectSumEJA for now (other things to worry about).

eja: fix operator tests.

eja: work towards fixing element subalgebras.

eja: begin dropping support for vector representations.

eja: begin major overhaul of class hierarchy and naming.

eja: reimplement multiplication_table() without member variables.

eja: mark some cached-value tests as "long time".

eja: add another performance TODO.

eja: speed up a few slow examples.

eja: fix the Hadamard/JordanSpinEJA fast path for charpoly_coefficients.

makefile: add --exitfirst to the test runner.

eja: fix recently broken doctests.

eja: refactor some matrix algebra stuff and break the tests.

eja: update a TODO with a better idea.

eja: disable axiom checking for concrete algebras.

eja: update the DESIGN and TODO documents.

eja: fix one more positional "field" argument.

eja: move the "field" argument to (usually passed through) kwargs.

eja: propagate check_axioms to some other "check" variables.

eja: add another performance TODO.

eja: dropp the already_echelonized TODO.

We generally orthonormalize things now, but having an orthonormal
basis is not the same as having a basis in RREF form.

eja: clean up the TODO list after major refactoring.

eja: remove a completed TODO.

eja: speed up construction of JordanSpinEJA and HadamardEJA.

eja: check that the basis is rational when it's supposed to be.

eja: improve rational basis algebra trickery.

eja: don't pass in a full multiplication table unless necessary.

eja: use symmetry when constructing the inner product matrix.

eja: fix a randomly-failing test.

eja: convert matrix algebas to the new constructor, fix all tests.

eja: drop the "Ng" from the new constructor.

eja: get rid of the old rational basis constructor.

eja: more work on realizing the new constructor.

eja: use new constructor for BilinearFormEJA.

eja: add another performance TODO.

eja: switch HadamardEJA to the new constructor.

eja: use custom gram-schmidt in the new constructor.

eja: allow non-standard inner product in gram_schmidt.

Revert "eja: drop custom gram_schmidt() routine that isn't noticeably faster."

This reverts commit 1e9700cdd04434465ffcad148d078f7fa361e426. We only
bring back the gram_schmidt() function (but don't use it yet) because
the plan is to modify it to take a custom inner-product.

eja: begin working on a new constructor.

eja: actually do what the previous commit was supposed to do.

eja: use symmetry when constructing multiplication table.

eja: add some DESIGN notes.

eja: start adding precomputed charpoly coeffs to the TODO.

makefile: add --long to the test command.

eja: replace a bunch of "manual" tests with a random one.

eja: update todo, and rename "natural" to "matrix".

We've already completed one TODO by adding is_self_adjoint() for
operators. Another is completed by deciding that I don't want to drop
natural representations for non-matrix algebras. But I do want to
rename them, to "matrix representations," because that's what they
are.

eja: add is_self_adjoint() for operators.

eja: make element constructor errors more consistent.

eja: fix an implicit TODO by eliminating lazy_import.

eja: and another TODO.

eja: add more TODO.

eja: use cached charpoly for element inverse() if possible.

eja: return the polynomial ring R[X1,...,XN] from a method.

eja: begin refactoring to allow noncanonical inner products.

eja: fix inclusions/projections with trivial algebras.

eja: another TODO.

eja: improve projection/inclusion implementation for DirectSumEJA.

eja: add is_zero() method for operators.