octonions: begin adding OctonionMatrix pseudo-matrix class.

eja: add another TODO, technically for the octonions...

octonions: add Cayley-Dickson representation.

New module mjo.octonions implementing the algebra of Octonions().

eja: use "b" as the default prefix.

eja: remove an unused import.

eja: speed up minimal_polynomial(), in theory.

eja: update the TODO.

eja: massively speed up the trace inner-product in matrix algebras.

eja: allow Cartesian products to be returned from random_eja().

eja: use the new deep change_ring() to clean things up.

eja: speed up the double-subalgebra test by using QQ.

eja: add a deep change_ring() utility function.

eja: complete the CFM_CartesianProduct purge.

eja: begin dropping CFM_CartesianProduct, tests all broken.

eja: more tests/examples.

eja: fix two more test typos.

eja: typo fix.

eja: add future commented-out random_eja() code.

eja: start fixing Cartesian products of Cartesian products.

eja: partially fix the product_on_basis() in Cartesian products.

eja: override product_on_basis() for Cartesian products.

eja: don't use product_on_basis() implementation details.

eja: simplify some calls to super(...).

eja: pass associative=True in some tests.

eja: remove a false alarm TODO.

eja: add automatic associativity detection.

eja: remove a completed TODO.

eja: really fix that test from the last commit.

eja: fix a randomly failing (in dimension zero) test.

eja: don't check the field/axioms in element subalgebras. YOLO.

eja: add a note on debugging to the DESIGN document.

eja: add brute-force associativity test.

Revert "eja: drop custom _is_commutative() in favor of is_commutative()."

This reverts commit fe4405d4c4e5eec48f1924fc75e6aedd08f5c938. Now that
all EJAs are commutative, we need the custom method that actually
checks it rather than the category method that always returns True.

eja: add Commutative() to the EJA categories.

eja: remove the subalgebra bug TODO, it's not a new bug.

Element subalgebra computations don't work over inexact fields because
we can't compute the degree of an element because we can't compute the
rank of a matrix.

eja: add another performance TODO.

eja: check axioms in inexact field tests.

eja: add a TODO for a bug just observed.

eja: simplify _inner_product_is_associative() code.

eja: fix the field on subalgebras.

eja: add another TODO I had forgotten.

eja: add some more docs for FDEJA.

eja: rewrite docs.

eja: add rational-basis subclass for Cartesian products.

eja: add more examples.

eja: gently update the TODO.

eja: add a doctest.

eja: add some tests for new utility functions.

eja: remove a completed TODO, and doctest it.

eja: fix cartesian products of cartesian product EJAs.

eja: make gram_schmidt work in Cartesian product algebras.

eja: fixup tests.

eja: handle tuples in parent algebras rather than in subclasses.

This is "necessary" because we won't always have a Cartesian product
algebra when our basis consists of tuples. Particularly in
element-subalgebras of Cartesian product algebras. It leads to more
special-casing, but whatever. Someday SageMath will know that both
matrix spaces and Cartesian products of vector spaces are themselves
vector spaces.

eja: add subalgebra() method for algebras.

eja: add another TODO for later.

eja: add subalgebra() method.

eja: delete obsolete cartesian product methods.

eja: drop custom _is_commutative() in favor of is_commutative().

eja: add is_associative() method and corresponding cartesian product magic.

eja: allow FDEJA constructor to work on a tuple basis.

eja: simplify to_matrix() for elements.

eja: switch "category" argument to "cartesian_product" in FDEJA.

This constructor is going to need a bunch of special cases for
cartesian products, and this simplifies things (we don't have to infer
whether or not we have a cartesian product from the category).

eja: add subclass for Cartesian product elements.

eja: fix element constructor error message for Cartesian products.

eja: define matrix basis/space for Cartesian product algebras.

eja: cache one() for Cartesian product algebras.

eja: replace monomial(i) with gens()[i] most places.

The way cartesian products of combinatorial free modules are
constructed, the monomials are identified by pairs of integers rather
than single digits. This means when we're looping through monomial(i)
for i=0,1,...,n in a CartesianProductEJA, that nothing is happening:
monomial(i) is always zero. It wants e.g. monomial((i,j)) instead.
So, switch all of those to gens()[i] which works everywhere.

This fixes rank computations in cartesian product algebras.

Revert "eja: demonstration for https://trac.sagemath.org/ticket/31421."

This reverts commit 526fbae45d9626b4042b1bfed3327a0d4a582b96.

eja: demonstration for https://trac.sagemath.org/ticket/31421.

eja: add another Cartesian product test.

eja: update the TODO again.

eja: update a comment.

Revert "eja: factor out a separate class used by cartesian_product()."

This reverts commit 858aa3653fd2e4ae8573f472cf3f0d698072c185.

eja: update the TODO.

eja: factor out a separate class used by cartesian_product().

eja: add a comment with a new TODO...

eja: more polish for Cartesian product EJAs.

eja: initialize CartesianProductEJA as an EJA.

eja: add "category" argument to FiniteDimensionalEJA.

eja: add cartesian_jordan_product() method to CartesianProductEJA.

eja: add cartesian_inner_product() method for CartesianProductEJA.

eja: add a test for multiple Cartesian product factors.

eja: remove failing debug tests.

eja: begin rework of Cartesian product EJA.

eja: drop a pointless "solve" in the EJA charpoly system.

eja: add trace linearity and charpoly homogeneity tests.

eja: cache inverse() and is_invertible() more intelligently.

eja: unbreak DirectSumEJA, poorly.

eja: change matrix_space() to use parent().

This allows it to work when the "matrix basis" lives in a Cartesian
product space.

eja: start putting back DirectSumEJA....

...and give up because sage is broken on my laptop.

eja: factor out the complex/quaternion extension fields.

eja: simplify two random statements.

eja: construct fewer temporary matrices during EJA construction.

eja: eliminate the special element subalgebra class.

eja: one more charpoly fix.

eja: add a soon-TODO.

eja: fix fast charpoly in one case.

eja: re-tuple the matrix basis after Gram-Schmidt.

eja: default to the identity IP matrix when orthonormalizing.