eja: allow non-standard inner product in gram_schmidt.

Revert "eja: drop custom gram_schmidt() routine that isn't noticeably faster."

This reverts commit 1e9700cdd04434465ffcad148d078f7fa361e426. We only
bring back the gram_schmidt() function (but don't use it yet) because
the plan is to modify it to take a custom inner-product.

eja: begin working on a new constructor.

eja: actually do what the previous commit was supposed to do.

eja: use symmetry when constructing multiplication table.

eja: add some DESIGN notes.

eja: start adding precomputed charpoly coeffs to the TODO.

makefile: add --long to the test command.

eja: replace a bunch of "manual" tests with a random one.

eja: update todo, and rename "natural" to "matrix".

We've already completed one TODO by adding is_self_adjoint() for
operators. Another is completed by deciding that I don't want to drop
natural representations for non-matrix algebras. But I do want to
rename them, to "matrix representations," because that's what they
are.

eja: add is_self_adjoint() for operators.

eja: make element constructor errors more consistent.

eja: fix an implicit TODO by eliminating lazy_import.

eja: and another TODO.

eja: add more TODO.

eja: use cached charpoly for element inverse() if possible.

eja: return the polynomial ring R[X1,...,XN] from a method.

eja: begin refactoring to allow noncanonical inner products.

eja: fix inclusions/projections with trivial algebras.

eja: another TODO.

eja: improve projection/inclusion implementation for DirectSumEJA.

eja: add is_zero() method for operators.

mjo: add two more TODO items.

eja: use cached charpoly for element inverse when available.

eja: add another big TODO item.

eja: check the (co)domain of each EJA operator.

TODO: remove two completed items.

eja: factor out some common tests.

eja: add ConcreteEJA class for EJAs we can make random instances of.

eja: add another performance TODO.

eja: fix one() in the trivial HadamardEJA.

eja: remove a completed TODO and update an in-progress one.

eja: cache the unit element immediately where it is known.

eja: tweak a zero test.

eja: add a test for invalid bilinear forms in BilinearFormEJA.

eja: fix random_instance() for JordanSpinEJA.

eja: add random_instance() for BilinearFormEJA.

eja: alter BilinearFormEJA to take only a matrix argument.

The BilinearFormEJA constructor originally took both the size "n" and
a bilinear form matrix "B" that acted on the x-bar component of an
algebra element. This was a bit silly: except when n=0, we can
determine the size of the algebra from the bilinear form matrix.

Now, we insist that the entire matrix "B" be passed in, including the
upper-left "1" block. This allows us to pass in a matrix of size zero
to get the trivial algebra, and in all other cases, to infer that the
dimension of the algebra is the size of the matrix.

eja: simplify the element-subalgebra one() method.

eja: add a random comment.

eja: add yet another TODO.

eja: minor improvement to the algebra one() method.

eja: try to speed up super/subalgebra conversion.

eja: drop redundant vector->superalgebra-element conversion.

eja: expand an existing subalgebra test.

eja: add another TODO item.

eja: update a few TODO items.

eja: drop cached superalgebra basis from subalgebras.

eja: drop an unused variable.

eja: echelonize a matrix manually to ensure a decent algorithm is used.

eja: don't compute an unused vector space for the element subalgebra.

eja: add a comment about sub-subalgebra representations.

eja: move the TrivialEJA random_instance() into an override method.

eja: don't orthonormalize the basis when computing minimal polynomials.

eja: drop obsolete _a_regular_element() override method.

eja: make _max_random_instance_size() abstract.

eja: rename _max_test_case_size() -> _max_random_instance_size().

eja: add inner_product() for DirectSumEJA.

eja: add inclusion maps for DirectSumEJA.

eja: add projections for DirectSumEJA.

eja: unindent a large "else" clause.

eja: fix base ring of fast _charpoly_coefficients().

eja: begin generalizing the charpoly-over-QQ optimizations.

As a very simple first step, encode the fact that HadamardEJA and
BilinearFormEJA have rational bases within the type system. This
allows us to compute their charpolys over the rationals instead of
whatever their user-given base ring is.

eja: split "check" args into check_field and check_axioms.

eja: add a few more TODO items.

eja: improve how we get the "real part" of a possibly-complex trace.

eja: enable consistency checks by default in (non-element) subalgebras.

eja: pass check=False for known-good constructions.

eja: pass check=False in the fast charpoly_coefficients() method.

eja: use fuzzy equality test with inexact base rings.

eja: check that the multiplication table is square with check=True.

eja: check EJA properties with check=True.

eja: add DirectSumEJA constructor (and not much else).

eja: add a link to a trac ticket in random_element().

eja: make random_element() more random.

eja: add orthogonality examples/tests for the Peirce decomposition.

eja: add a TODO to fix random_element().

eja: add "of" to the algebra characteristic_polynomial() method name.

eja: add another TODO that I keep forgetting.

eja: remove wayward utf-8 comment.

eja: let random_eja() return zero-dimensional algebras of all types.

eja: fix two more tests to work in dimension zero.

eja: make an inverse() test work in trivial algebras.

eja: make all tests work in trivial algebras.

This lets us drop the "nontrivial" argument to the random_eja()
function, because now we don't need it.

eja: document why an a[0] access is safe.

eja: expound on an existing TODO item.

eja: allow matrix algebras of "size" zero.

eja: remove another completed TODO.

eja: remove a completed TODO.

eja: remove one use of nontrivial=True passed to random_eja().

eja: fix the fast matrix _charpoly_coefficients() method.

eja: speed up _charpoly_coefficients when rank is cached.

eja: fix the determinant in trivial algebras.

eja: remove more vestigial charpoly stuff.

makefile: don't allow tests to time out.

eja: simplify and unify the charpoly/rank stuff.

eja: replace rank computation with length of charpoly coefficients.

If we cache the solution to the charpoly system instead, then the
result is useful in more than one place (for the charpoly itself,
in particular).

eja: get rid of the KnownRankEJA class.

Not needed now that I know how to compute rank.

eja: reimplement random_eja() without KnownRankEJA.

eja: fix tests and pre-cache ranks.