Cached characteristic polynomial coefficients for a few of the
example algebras. These take a long time to compute, so it makes more
sense to cache them and then only test that the cached values are
-correct every once in a while.
+correct every once in a while. And they're in this separate file
+because they are visually horrific.
-The function used to turn SageMath's output into the appropriate input
-can be found in the eja_utils module.
+SageMath's output can be converted back into "input form" using a sed
+script, for example:
+
+ $ sed -e 's/\^/\*\*/g' -e 's/X\([0-9][0-9]*\)/X\[\1\]/g' <input>
+
+The simple algebras _not_ represented here all have rank two or less,
+and are "easy" to compute even over the algebraic reals.
"""
-def quaternion_hermitian_eja_coeffs(J):
+def real_symmetric_eja_coeffs(J):
X = J.coordinate_polynomial_ring().gens()
- if J.dimension() == 1: # n == 1
- a0 = -X[0]
- return (a0,)
+ if J.dimension() == 3: # n == 2
+ a0 = -X[1]**2 + X[0]*X[2]
+ a1 = -X[0] - X[2]
+ return (a0,a1)
+
+ elif J.dimension() == 6: # n == 3
+ a0 = ( X[2]*X[3]**2 - 2*X[1]*X[3]*X[4] + X[0]*X[4]**2 +
+ X[1]**2*X[5] - X[0]*X[2]*X[5] )
+ a1 = ( -X[1]**2 + X[0]*X[2] - X[3]**2 - X[4]**2 +
+ X[0]*X[5] + X[2]*X[5] )
+ a2 = -X[0] - X[2] - X[5]
+ return (a0,a1,a2)
+
+ elif J.dimension() == 10: # n == 4
+ a0 = ( X[4]**2*X[6]**2 - X[2]*X[5]*X[6]**2 -
+ 2*X[3]*X[4]*X[6]*X[7] + 2*X[1]*X[5]*X[6]*X[7] +
+ X[3]**2*X[7]**2 - X[0]*X[5]*X[7]**2 +
+ 2*X[2]*X[3]*X[6]*X[8] - 2*X[1]*X[4]*X[6]*X[8] -
+ 2*X[1]*X[3]*X[7]*X[8] + 2*X[0]*X[4]*X[7]*X[8] +
+ X[1]**2*X[8]**2 - X[0]*X[2]*X[8]**2 -
+ X[2]*X[3]**2*X[9] + 2*X[1]*X[3]*X[4]*X[9] -
+ X[0]*X[4]**2*X[9] - X[1]**2*X[5]*X[9] +
+ X[0]*X[2]*X[5]*X[9] )
+
+ a1 = ( X[2]*X[3]**2 - 2*X[1]*X[3]*X[4] + X[0]*X[4]**2 +
+ X[1]**2*X[5] - X[0]*X[2]*X[5] + X[2]*X[6]**2 +
+ X[5]*X[6]**2 - 2*X[1]*X[6]*X[7] + X[0]*X[7]**2 +
+ X[5]*X[7]**2 - 2*X[3]*X[6]*X[8] - 2*X[4]*X[7]*X[8] +
+ X[0]*X[8]**2 + X[2]*X[8]**2 + X[1]**2*X[9] -
+ X[0]*X[2]*X[9] + X[3]**2*X[9] + X[4]**2*X[9] -
+ X[0]*X[5]*X[9] - X[2]*X[5]*X[9] )
+
+ a2 = ( -X[1]**2 + X[0]*X[2] - X[3]**2 - X[4]**2 +
+ X[0]*X[5] + X[2]*X[5] - X[6]**2 - X[7]**2 -
+ X[8]**2 + X[0]*X[9] + X[2]*X[9] + X[5]*X[9] )
+
+ a3 = -X[0] - X[2] - X[5] - X[9]
+
+ return (a0,a1,a2,a3)
+
+ # Don't know them
+ return None
+
+
+def complex_hermitian_eja_coeffs(J):
+ X = J.coordinate_polynomial_ring().gens()
+
+ if J.dimension() == 4: # n == 2
+ a0 = -X[1]**2 - X[2]**2 + X[0]*X[3]
+ a1 = -X[0] - X[3]
+ return (a0,a1)
- elif J.dimension() == 6: # n == 2
+ elif J.dimension() == 9: # n == 3
+ a0 = ( X[3]*X[4]**2 + X[3]*X[5]**2 - 2*X[1]*X[4]*X[6] -
+ 2*X[2]*X[5]*X[6] + X[0]*X[6]**2 + 2*X[2]*X[4]*X[7] -
+ 2*X[1]*X[5]*X[7] + X[0]*X[7]**2 + X[1]**2*X[8] +
+ X[2]**2*X[8] - X[0]*X[3]*X[8] )
+
+ a1 = ( -X[1]**2 - X[2]**2 + X[0]*X[3] - X[4]**2 - X[5]**2 -
+ X[6]**2 - X[7]**2 + X[0]*X[8] + X[3]*X[8] )
+
+ a2 = -X[0] - X[3] - X[8]
+
+ return (a0,a1,a2)
+
+ elif J.dimension() == 16: # n == 4
+ a0 = ( X[6]**2*X[9]**2 + X[7]**2*X[9]**2 - X[3]*X[8]*X[9]**2 +
+ X[6]**2*X[10]**2 + X[7]**2*X[10]**2 - X[3]*X[8]*X[10]**2 -
+ 2*X[4]*X[6]*X[9]*X[11] - 2*X[5]*X[7]*X[9]*X[11] +
+ 2*X[1]*X[8]*X[9]*X[11] - 2*X[5]*X[6]*X[10]*X[11] +
+ 2*X[4]*X[7]*X[10]*X[11] + 2*X[2]*X[8]*X[10]*X[11] +
+ X[4]**2*X[11]**2 + X[5]**2*X[11]**2 - X[0]*X[8]*X[11]**2 +
+ 2*X[5]*X[6]*X[9]*X[12] - 2*X[4]*X[7]*X[9]*X[12] -
+ 2*X[2]*X[8]*X[9]*X[12] - 2*X[4]*X[6]*X[10]*X[12] -
+ 2*X[5]*X[7]*X[10]*X[12] + 2*X[1]*X[8]*X[10]*X[12] +
+ X[4]**2*X[12]**2 + X[5]**2*X[12]**2 - X[0]*X[8]*X[12]**2 +
+ 2*X[3]*X[4]*X[9]*X[13] - 2*X[1]*X[6]*X[9]*X[13] +
+ 2*X[2]*X[7]*X[9]*X[13] + 2*X[3]*X[5]*X[10]*X[13] -
+ 2*X[2]*X[6]*X[10]*X[13] - 2*X[1]*X[7]*X[10]*X[13] -
+ 2*X[1]*X[4]*X[11]*X[13] - 2*X[2]*X[5]*X[11]*X[13] +
+ 2*X[0]*X[6]*X[11]*X[13] + 2*X[2]*X[4]*X[12]*X[13] -
+ 2*X[1]*X[5]*X[12]*X[13] + 2*X[0]*X[7]*X[12]*X[13] +
+ X[1]**2*X[13]**2 + X[2]**2*X[13]**2 - X[0]*X[3]*X[13]**2 -
+ 2*X[3]*X[5]*X[9]*X[14] + 2*X[2]*X[6]*X[9]*X[14] +
+ 2*X[1]*X[7]*X[9]*X[14] + 2*X[3]*X[4]*X[10]*X[14] -
+ 2*X[1]*X[6]*X[10]*X[14] + 2*X[2]*X[7]*X[10]*X[14] -
+ 2*X[2]*X[4]*X[11]*X[14] + 2*X[1]*X[5]*X[11]*X[14] -
+ 2*X[0]*X[7]*X[11]*X[14] - 2*X[1]*X[4]*X[12]*X[14] -
+ 2*X[2]*X[5]*X[12]*X[14] + 2*X[0]*X[6]*X[12]*X[14] +
+ X[1]**2*X[14]**2 + X[2]**2*X[14]**2 - X[0]*X[3]*X[14]**2 -
+ X[3]*X[4]**2*X[15] - X[3]*X[5]**2*X[15] +
+ 2*X[1]*X[4]*X[6]*X[15] + 2*X[2]*X[5]*X[6]*X[15] -
+ X[0]*X[6]**2*X[15] - 2*X[2]*X[4]*X[7]*X[15] +
+ 2*X[1]*X[5]*X[7]*X[15] - X[0]*X[7]**2*X[15] -
+ X[1]**2*X[8]*X[15] - X[2]**2*X[8]*X[15] +
+ X[0]*X[3]*X[8]*X[15] )
+
+ a1 = ( X[3]*X[4]**2 + X[3]*X[5]**2 - 2*X[1]*X[4]*X[6] -
+ 2*X[2]*X[5]*X[6] + X[0]*X[6]**2 + 2*X[2]*X[4]*X[7] -
+ 2*X[1]*X[5]*X[7] + X[0]*X[7]**2 + X[1]**2*X[8] +
+ X[2]**2*X[8] - X[0]*X[3]*X[8] + X[3]*X[9]**2 +
+ X[8]*X[9]**2 + X[3]*X[10]**2 + X[8]*X[10]**2 -
+ 2*X[1]*X[9]*X[11] - 2*X[2]*X[10]*X[11] + X[0]*X[11]**2 +
+ X[8]*X[11]**2 + 2*X[2]*X[9]*X[12] - 2*X[1]*X[10]*X[12] +
+ X[0]*X[12]**2 + X[8]*X[12]**2 - 2*X[4]*X[9]*X[13] -
+ 2*X[5]*X[10]*X[13] - 2*X[6]*X[11]*X[13] -
+ 2*X[7]*X[12]*X[13] + X[0]*X[13]**2 + X[3]*X[13]**2 +
+ 2*X[5]*X[9]*X[14] - 2*X[4]*X[10]*X[14] +
+ 2*X[7]*X[11]*X[14] - 2*X[6]*X[12]*X[14] + X[0]*X[14]**2 +
+ X[3]*X[14]**2 + X[1]**2*X[15] + X[2]**2*X[15] -
+ X[0]*X[3]*X[15] + X[4]**2*X[15] + X[5]**2*X[15] +
+ X[6]**2*X[15] + X[7]**2*X[15] - X[0]*X[8]*X[15] -
+ X[3]*X[8]*X[15] )
+
+ a2 = ( -X[1]**2 - X[2]**2 + X[0]*X[3] - X[4]**2 - X[5]**2 -
+ X[6]**2 - X[7]**2 + X[0]*X[8] + X[3]*X[8] - X[9]**2 -
+ X[10]**2 - X[11]**2 - X[12]**2 - X[13]**2 - X[14]**2 +
+ X[0]*X[15] + X[3]*X[15] + X[8]*X[15] )
+
+ a3 = -X[0] - X[3] - X[8] - X[15]
+
+ return (a0,a1,a2,a3)
+
+ # Don't know them
+ return None
+
+
+def quaternion_hermitian_eja_coeffs(J):
+ X = J.coordinate_polynomial_ring().gens()
+
+ if J.dimension() == 6: # n == 2
a0 = -X[1]**2 - X[2]**2 - X[3]**2 - X[4]**2 + X[0]*X[5]
a1 = -X[0] - X[5]
return (a0,a1)
def octonion_hermitian_eja_coeffs(J):
X = J.coordinate_polynomial_ring().gens()
- if J.dimension() == 1: # n == 1
- a0 = -X[0]
- return (a0,)
-
- elif J.dimension() == 10: # n == 2
+ if J.dimension() == 10: # n == 2
a0 = ( -X[1]**2 - X[2]**2 - X[3]**2 - X[4]**2 - X[5]**2 -
X[6]**2 - X[7]**2 - X[8]**2 + X[0]*X[9] )
a1 = -X[0] - X[9]
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